V54 Sous-groupes

On montre que les sous_groupes de groupe de référence (Z,+), sont tous de la forme nZ où n est entier naturel. La preuve s'adapte à 1) l'anneau des polynômes ( Tout idéal de K[X] est principal ) et pour montrer 2) Tout sous_groupe d'un groupe cyclique est cyclique et on voit également le lien qui existe entre l'arithmétique et les sous-groupes de (Z,+). Ensuite , on montre que toute partie stable finie d'un groupe est automatiquement un sous-groupe . La preuve s'adapte avec des légères modifications, pour montrer 1) Tout anneau intègre fini est un corps . 2) Si G est une sous_algèbre de (Mn(K),+,..,X) alors l'intersection de GLn(K) avec G , est un sous-groupe de (GLn(K),X). Conclusion : Il faut connaître les résultas des groupes de référence , dont la preuve s'adapte à d'autres situations voisines .